نوع مقاله : مقاله پژوهشی
نویسندگان
دانشکده فیزیک، دانشگاه الزهرا، تهران
چکیده
کنترل سامانه‌های غیرخطی و رساندن آن به حالت پایدار، یکی از موضوعات مهم در سامانه‌های پیچیده است. سامانه‌ای کنترل‌پذیر است که بتوان آن را در بازۀ زمانی محدود، از هر حالتی به حالت مطلوب رساند. مدل بخش‌بندی جمعیتی یک روش استاندارد ریاضی است که برای تحلیل تحول زمانی سامانۀ پیچیده به کار می‌رود. سامانۀ غیرخطی سه بعدی با آستانۀ گذار را در نظر می‌گیریم . فقط یک حالت پایدار (نقطۀ ثابت تعادل) دارد که در زمان طولانی به آن می‌رسد. هدف این است که این سامانه را در شروع دینامیک به سمت نقطۀ ثابت پایدار مطلوب ببریم (زمان محدود). این سامانه با مدل بخش‌بندی جمعیتی توصیف شده است. با استفاده از راهبرد کنترل سامانه‌های دینامیکی چند‌بعدی، تبدیل بندادی را پیشنهاد دادیم که از آن تابع کنترل به‌دست آمد. برای اثبات این که نقاط ثابت سامانه پایدار هستند از روش پایداریِ خطی و قضیۀ دایره‌های گرشگورین استفاده کردیم. با حل عددی معادلات دیفرانسیل پس از کنترل، سامانه در بازۀ زمانی محدود به نقاط ثابت مطلوب رسیدند. با رسم فضای حالت برای نقاط ثابت مختلف، پنج منطقه به‌دست آمد. نقاط ثابتی را یافتیم که تابع کنترل می‌تواند سامانه را در مدت زمان محدود به حالت پایدار برساند. نشان دادیم که بعضی از نقاط ثابت غیر فیزیکی هستند.
کلیدواژه‌ها
- سامانه‌های پیچیده
- سامانه‌های دینامیکی غیرخطی
- کنترل پذیری
- قضیۀ دایره‌های گرشگورین
- مدل بخش‌بندی جمعیتی
موضوعات
عنوان مقاله [English]
Controllability in nonlinear dynamical systems: a compartmental model
نویسندگان [English]
- Farinaz Roshani
- Zeinab Mardi Gheshlaghi
Department of Physics, Alzahra University, Tehran, Iran
چکیده [English]
Controllability is our ability to steer a dynamic system to a desired final state in finite time. A compartmental model is general mathematical modeling used to predict the time evolution of complex systems. We consider a three-dimensional nonlinear system with a transition threshold. It has only one steady state (equilibrium fixed point) which it reachs a long period. Our goal is to drive this system towards the desired stable fixed point at the beginning of the dynamics (finite time). The nonlinear system was investigated as a compartmental model. We used the control strategy of multidimensional dynamical systems and proposed the canonical transformation from which the control function was obtained. In order to show that the fixed points of the system are stable, we used the linear stability method and the Gershgorin circle theorem. By numerically solving the differential equations after control, the system reached the desired fixed points in a finite time. We plotted the state space for different fixed points, and four regions were obtained. We found the points where the control function can steer the system to a stable state in a finite time. We found fixed points that are non-physical.
کلیدواژه‌ها [English]
- complex systems
- non-linear dynamical systems
- controllability
- Gershgorin circle theorem
- compartmental model
- L Yang-Yu and A-L Barabási, Mod. Phys. 88 (2016) 035006.
- S H Strogatz, “Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications To Physics, Biology, Chemistry, and Engineering”, Westview Press (2001).
- R Pastor-Satorras, C Castellano, P Van Mieghem, and A Vespignani, Mod. Phys. 87(2015) 925.
- F Roshani J. Appl. Phys. 13 (2017) 17.
- F Roshani and Y Naimi, Rev. E 85 (2012) 036109.
- Y Y Liu , J J Slotine, and AL Barabási, Nature 473 (2011)167.
- M Bahadorian, H Alimohammadi, T Mozaffari, M R R Tabar, J Peinke, and K Lehnertz , Rep 9 (2019) 1.
- M Morrison and J Nathan Kutz, IEEE transactions on network science and engineering 8 , 1 (2020) 174.
- M Morrison, Charles Fieseler, and J Nathan Kutz, Frontiers in Computational Neuroscience 14 (2021) 616639.
- J J Bissell, C C S Caiado, M Goldstein, and B Straughan, Mathematical Models and Methods in Applied Sciences24, 04 (2014) 719.
)