نوع مقاله: مقاله پژوهشی

نویسنده

گروه فیزیک، دانشکدة علوم، دانشگاه شیراز، شیراز

چکیده

این یک موضوع شناخته شده است که با جایگزین کردن وزن های بولتزمنی مدل آیزینگ کلاسیکی در دامنه‌های تابع موج حالت پایه کد چنبره‌ای، گذار فاز کلاسیکی در مدل آیزینگ به یک گذار فاز توپولوژیکی در یک مدل کوانتومی مختل شده از کد چنبره ای نگاشته می‌شود. از آنجایی که چنین گذار فازهای توپولوژیکی بر خلاف گذار فاز های معمولی توسط یک پارامتر نظم موضعی قابل توصیف نیستند، بررسی این که چه پارامتر نظمی می‌تواند گذار فاز توپولوژیکی بالا را توصیف کند، چالش مهمی است. در این مقاله، به کمک تکنیکی ساده مبتنی بر نگاشت بین مدل آیزینگ کلاسیکی و حالت پایة کد چنبره‌ای، پارامتر نظمی غیر موضعی برای گذار فاز توپولوژیکی پیدا خواهیم کرد که به خوبی ماهیت توپولوژیک گذار را آشکار می‌کند. نشان می‌دهیم که این پارامتر در واقع یک نوع پارامتر نظم ریسمانی است که در برخی دیگر از مدل‌ها نیز به عنوان مشخصۀ گذار فازهای توپولوژیکی پیشنهاد شده است.

کلیدواژه‌ها

عنوان مقاله [English]

Non-local order parameter for topological phase transition in the quantum toric code

نویسنده [English]

  • M H Zarei

Department of Physics, School of Science, Shiraz University, Shiraz, Iran

چکیده [English]

It has been known that by encoding the  Boltzmann weights of a classical Ising model in the amplitudes of the wave function of the ground state of the toric code model, the classical phase transition in Ising model is mapped to a topological phase transition in a perturbed toric code model. Since such topological phase transitions cannot be characterized by any local order parameter, it will be an important challenge to find an order parameter which describes the above topological phase transition. In this paper, using a simple technic based on mapping between classical Ising model and the ground state of the toric code model, we find a non-local order parameter which well reveals the topological nature of the above phase transition. We show that such an order parameter is, in fact, a kind of string order parameter which has been recently introduced for some topological phase transitions.

کلیدواژه‌ها [English]

  • topological phase transition
  • quantum toric code
  • non-local order parameter
  • Ising model

  1. N Goldenfeld, "Lectures on phase transitions and critical phenomena", Perseus Books Publishing, L.L.C., Massachusetts (1992).
  2. L D Landau, Ukr. J. Phys. 11 (1937) 19.
  3. X G Wen, Phys. Rev. B 40  (1989) 7387.
  4. X G.Wen and Q Niu, Phys. Rev. B 41, 13 (1990) 9377.
  5. X G Wen, " Int. J. Mod. Phys. B 5, 1641 (1991).
  6. X. G. Wen, "Topological orders in rigid states, Int. J. Mod. Phys. B 4, 02 (1990) 239.
  7. X G Wen, Adv. Phys. 44  (1995) 405.
  8. N Read and S Sachdev, Phys. Rev. Lett. 66, 13 (1991) 1773.
  9. K Klitzing, G Dorda, and M Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 6 (1980) 494.

10. G Moore and R Nicholas, Nuclear Physics B 360, 2-3 (1991) 362.

11. R Moessner and S L Sondhi, Phys. Rev. Lett. 86 (2001) 1881.

12. J Abouie, M Mogharrar Jahromi, and S Abedinpour, IJPR 17, 5 (2018) 681.

13. H Jiang, Z Wang, and L Balents, Nat. Phys. 8, 12 (2012) 902.

14. M Levin and X G Wen, Phys. Rev. Lett. 96, 11 (2006) 110405

15. A Kitaev and J Preskill, Phys. Rev. Lett. 96, 11 (2006) 110404.

16. S Bravyi, M B Hastings, and S. Michalakis, J. Math. Phys. 51, 9 (2010) 093512.

17. K Duivenvoorden and T Quella. Phys. Rev. B 86, 23 (2012) 235142.

18. R Alicki, M Horodecki, P Horodecki, and R Horodecki, Open Syst. Inf. Dyn. 17  (2008) 1.

19. H Bombin, R W Chhajlany, M Horodecki, and M A Martin-Delgado, New J. Phys. 15, 5  (2013) 055023.

20. J B Brown, D Loss, J K Pachos, C N Self, and J R Wootton, Reviews of Modern Physics 88, 4 (2016) 045005.

21. E Dennis, A Kitaev, A Landahl, and J Preskill, J. Math. Phys. 43, 9 (2002) 4452.

22. H Bombin and M A Martin-Delgado, Phys. Rev. Lett. 97 (2006) 180501.

23. B Yoshida, Ann. Phys. 326, 10 (2011) 2566.

24. H Bombin, New J. Phys. 17, 8 (2015) 083002.

25. S Dusuel, M. Kamfor, R. Orus, K. P. Schmidt, and J.Vidal, Phys. Rev. Lett. 106 (2011) 107203.

26. A Y Kitaev, Ann. Phys. (N.Y.) 2 (2003) 303.

27. S Trebst, P Werner, M Troyer, K Shtengel, and C Nayak, Phys. Rev. Lett. 98 (2007) 070602.

28. J Vidal, S Dusuel, and K P Schmidt, Phys. Rev. B 79 (2009) 033109.

29. J Vidal, R Thomale, K P Schmidt, and S Dusuel, Phys. Rev. B 80 (2009) 081104.

30. I S Tupitsyn, A Kitaev, N V Prokofev, and P C E Stamp, Phys. Rev. B 82 (2010) 085114.

31. F Wu, Y Deng, and N Prokof’ev, Phys. Rev. B 85 (2012) 195104.

32. M H Zarei, Phys. Rev. A 91, 2 (2015) 022319.

33. M H Zarei, Phys. Rev. B 96 (2017) 165146.

34. M H Zarei and A Montakhab, Phys. Rev. A 99 (2019) 052312.

35. C Castelnovo and C Chamon, Phys. Rev. B 77 (2008) 054433.

36. M H Zarei and A Montakhab, arXiv:1907.06216

37. M H Zarei, Phys. Rev. B 100 (2019) 125159.

38. A Hamma, W Zhang, S Haas, D A Lidar, Phys. Rev. B 77, 15 (2008) 155111.

39. S. Gu, Int. J. Mod. Phys. B 24, 23 (2010) 4371.

40. S Yang, S J. Gu, C P Sun, and H Q Lin, Phys. Rev. A 78, 1 (2008) 012304.

41. U Marzolino and P Tomaz, Phys. Rev. B 96, 10 (2017) 104402.

42. A Carollo, S Bernardo, D Valenti, Scienti_c reports 8, 1 (2018) 9852.

43. A Montakhab and A Asadian, Phys. Rev. A 82 (2010) 062313.

تحت نظارت وف ایرانی